公式小抄（给大孩子） · 动态对冲

说明：以下公式默认欧式期权、无分红（有分红时用 q 调整）。
你不需要背，但要知道每个符号在说什么。实际交易中，希腊字母由软件计算。

一、收益与平价#

看涨到期收益 = max(S_T - K, 0)
看跌到期收益 = max(K - S_T, 0)

看涨 - 看跌 = S - K·e^(-rT)          （无分红）
看涨 - 看跌 = S·e^(-qT) - K·e^(-rT)  （有分红 q）

S：标的现价；S_T：到期价格；K：行权价；T：到期时间（年）；r：无风险利率；q：分红率。

二、Black-Scholes#

d1 = [ln(S/K) + (r - q + σ²/2)·T] / (σ·√T)
d2 = d1 - σ·√T

C = S·e^(-qT)·N(d1) - K·e^(-rT)·N(d2)
P = K·e^(-rT)·N(-d2) - S·e^(-qT)·N(-d1)

σ：波动率（年化，小数，比如 20% = 0.20）；
N()：标准正态分布的累积概率；
n()：标准正态分布的概率密度（下面会用到）。

三、希腊字母#

Delta_call = e^(-qT)·N(d1)
Delta_put  = e^(-qT)·[N(d1) - 1]

Gamma = e^(-qT)·n(d1) / (S·σ·√T)

Vega  = S·e^(-qT)·n(d1)·√T        （波动率变 1.00 时）
      除以 100，就是“波动率变 1 个百分点”的 Vega

Theta_call = -S·e^(-qT)·n(d1)·σ/(2√T)
             + q·S·e^(-qT)·N(d1)
             - r·K·e^(-rT)·N(d2)

Theta_put  = -S·e^(-qT)·n(d1)·σ/(2√T)
             - q·S·e^(-qT)·N(-d1)
             + r·K·e^(-rT)·N(-d2)

Rho_call = K·T·e^(-rT)·N(d2)
Rho_put  = -K·T·e^(-rT)·N(-d2)

注意：Theta 公式算的是“每年”的变化；除以 365 或 252，才是“每天”。
不同软件对“Vega 的单位”定义不同：有的按 1.00 波动率，有的按 1 个百分点。看报价时要问清楚。

四、盈亏近似#

Delta 盈亏 ≈ Delta × ΔS
Gamma 盈亏 ≈ 0.5 × Gamma × (ΔS)²
Vega 盈亏  ≈ Vega × Δσ
Theta 盈亏 ≈ Theta × Δt

Delta 对冲后的组合，短期内：

P&L ≈ 0.5 × Γ × (ΔS)² + Vega × Δσ + Theta × Δt

长期（忽略 Vega/Theta 的高阶项）：

P&L ≈ 0.5 × Γ × S² × (σ_realized² - σ_implied²) × Δt

直觉：实际波动 > 隐含波动，正 Gamma 赚；实际波动 < 隐含波动，负 Gamma 亏。

五、二叉树#

u = e^(σ·√Δt)
d = 1/u
p = [e^((r-q)·Δt) - d] / (u - d)

C = e^(-r·Δt) × [p·C_u + (1-p)·C_d]

u：上涨倍数；d：下跌倍数；p：风险中性上涨概率；
C_u、C_d：上涨/下跌后的期权价值。

六、随机过程#

几何布朗运动：
S_T = S_0 · exp[(μ - σ²/2)·T + σ·√T·Z]

风险中性版本：
S_T = S_0 · exp[(r - q - σ²/2)·T + σ·√T·Z]

Z：标准正态随机数；
σ²/2：伊藤修正项。

伊藤引理#

dC = (∂C/∂t + μ·S·∂C/∂S + 0.5·σ²·S²·∂²C/∂S²)·dt
     + σ·S·∂C/∂S·dW

Black-Scholes 偏微分方程#

∂C/∂t + 0.5·σ²·S²·∂²C/∂S² + (r-q)·S·∂C/∂S - r·C = 0

七、波动率与相关性#

年化波动率 = 日波动率 × √252
（一年约 252 个交易日）

两资产相关性：
ρ = cov(A,B) / (σ_A·σ_B)

组合方差（两资产）：
σ_p² = w_A²·σ_A² + w_B²·σ_B² + 2·w_A·w_B·ρ·σ_A·σ_B

相关性三角：
v(A,C) ≤ v(A,B) + v(B,C)

v(A,B)：A 和 B 之间的波动率（“距离”）；
相关性 = 夹角的余弦：ρ = cos θ。

八、VaR#

参数法（正态、零均值）：
VaR_α = z_α × σ × √Δt × V

z_95% ≈ 1.645
z_99% ≈ 2.326

V：头寸价值；σ：波动率；Δt：时间（年）。

组合 VaR（书中的矩阵形式）：

VaR = √(Eᵀ · M · E)

E：各资产的净敞口向量（已按波动率调整）；
M：相关系数矩阵；
Eᵀ：E 的转置。

这只是“正常市场”的近似；极端情况下，相关性、波动率、流动性都会变。

九、奇异期权#

敲入 + 敲出 = 普通期权（同 K、同 H）
KI + KO = Vanilla

二元看涨（到期付 1 元）：

价格 = e^(-rT)·N(d2)
Delta = e^(-rT)·n(d2) / (S·σ·√T)
Gamma = -e^(-rT)·n(d2)·d1 / (S²·σ²·T)

Gamma 在行权价附近会变号；这就是二元期权难对冲的原因。

亚式期权：

几何平均有解析公式；
算术平均通常用蒙特卡洛。

书中的对冲比例例子：

1 张亚式期权 ≈ 1.73 张普通期权（特定参数下）

这不是万能比例，只是说明“亚式期权的风险不是一张普通期权能完全对冲的”。

复合期权 / 选择者：

复合期权 = 对“标的期权价值”的期权
选择者 = 在 choice date 取 max(Call, Put)

定价需要二维正态积分或数值方法；实际中用模型/蒙特卡洛。

十、常见错误提醒#

把 Vega 的单位搞错：1.00 波动率 vs 1 个百分点，差 100 倍。
把 Theta 的年化值当每日值：要除以 365 或 252。
把 Delta 当概率：Delta 是复制比例/敏感度，不是真实胜率。
忽略分红和利率：长期期权、分红股票的平价公式会偏。
用历史相关性预测危机：危机时相关性会变。
用正态 VaR 管期权：非线性、厚尾、流动性都会被低估。

十一、一句话记忆#

BSM 算价格，Delta 管方向，Gamma 管颠簸，Vega 管天气，Theta 管时间；平价公式管关系，相关性三角管自洽，VaR 只管“大概率”。